幂函数：形状为y=x(a为实数)的一般函数，即以底数为自变量，以幂为因变量，以指数为常数的函数称为幂函数。幂函数y=x a和指数函数y=a x的导数公式分别为y'=a * x (a-1)和y'=a x * lna。

幂函数(x ^ a)'=ax(a-1)

证明：y=x a

两边对数lny=alnx

两边x的导数(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax a/x=ax (a-1)

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导：

==\u003ey'/y=lna

==\u003ey'=ylna=a^xlna

当a值大于1时，指数函数的增长率高于幂函数的增长率。如下图所示，例如a=2时，幂函数分别为y=x 2，指数函数分别为y=2x。对它们求导，可以分别得到y=2x和y=2 x * LN2。指数函数的增长实际上是一种浪涌模式。在实际例子中，如病毒的传播速度，它与指数函数非常相似。另一个例子是人口增长模式，它也接近于指数函数。对于幂函数来说，它的增长速度比较平均。