设函数y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果，对于值域f(D)中的每一个y，D中只有一个x使得g(y)=x，根据这个对应的规律得到一个定义在f(D)上的函数，这个函数叫做函数y=f(x)的反函数。
在函数x=f -1(y)中，y是自变量，x是因变量，但习惯上，我们通常用x代表自变量，y代表因变量。为此，我们经常把函数x=f-1(y)中的字母x和y对调，改写成y=f -1(x)。今后，除非另有说明，函数y=
反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可以看出，对于任意函数y=f(x)，不一定有反函数。如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数是y=f(x)。
互反函数的两个函数在各自的定义域中具有相同的单调性。单调函数必须有反函数。例如，二次函数在R中不是反函数，但可以在其单调增(减)域中找到。另外反比例函数等函数也不是单调的，反函数也可以得到。
根据映射的定义，函数y=f(x)是从定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f -1(x)是从集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f -1(x)的值域。函数y=f(x)的取值范围正好是其反函数y=f -1(x)的定义域(见下表):
函数：y=f(x)；
反函数：y=f-1(x)；
域：A，C；
范围：c，a；
上述定义使用了逆映射，可以描述为：
如果确定函数y=f(x)的映射F是a 一对一映射从定义域到值域的函数，那么函数Y=f -1 (x)由逆f的映射F-1称为函数y=f(x)的反函数。反函数y=f-1(x)的定义域和值域是相互对应的。前两个例子：s=vt写成f(t)=vt，那么它的反函数可以写成f-1 (s)=s/v .同理，y=2x 6写成f(x)=2x 6，那么它的反函数就是：f -1(x)=x/2-3。
有时候是反函数需要分类讨论，比如：f(x)=x ^ 1/x，需要分类讨论x:当x大于0时，更需要注意x小于0时。
一般分式函数y=(ax b)/(cx d)(其中adbc)的反函数可以表示为y=(b-dx)/(cx-a)，用简单的四则运算就可以证明。
