基于图像的微分的：一阶微分和二阶微分拉普拉斯算子-胜象大百科-提升认知,打开格局

上面提到的滤波器都属于平滑滤波器(低通滤波器)，用来平滑图像，抑制噪声。相反，锐化空间滤波器主要用于增强图像的突变信息、细节和边缘信息。平滑滤波主要是利用邻域的均值(或中值)来代替模板中心的像素，以此来削弱邻域间的差异，平滑图像，抑制噪声。相反，锐化滤波器以邻域的微分作为算子，增大邻域内像素的差异，使图像的突变部分变得更加明显。

本文主要介绍以下内容：

图像的一阶和二阶微分的性质

几种常见的一阶微分算子

二阶微分算子-拉普拉斯拉普拉斯算子

一阶微分算子和二阶微分算子得到的边的比较

一阶微分和二阶微分的性质

既然是基于一阶微分和二阶微分的锐化空间滤波器，那就要先了解下一个一阶微分和二阶微分的性质。

锐化图像是为了增强图像的突变部分，所以我们还研究了图像恒定区域中突变(阶跃和斜率的突变)的起点和终点，以及沿灰度斜率的微分性质。微分是函数的局部变化率的表示，因此一阶微分具有以下性质：

在恒定的灰度区域，图像的微分值为0。(灰度值没有变化，自然微分值为0)

在灰度级阶跃或斜率的起始点，微分值不为0。(步长为，灰度值突变较大；斜率是灰度值变化缓慢；灰度值发生变化，微分值不为0)

沿着斜坡的微分值不为0。

二阶微分是一阶微分的导数，对应于一阶微分，具有以下性质：

在恒定区域中，第二微分值为0。

在灰度阶梯或斜率的开始处，微分值不为0。

沿坡度的微分值为0。

从上述图像灰度的一阶和二阶微分的性质可以看出，在灰度值变化的地方，一阶微分和二阶微分的值不为零；在灰度级恒定的情况下，微分值为0。也就是说，无论使用一阶微分还是二阶微分，都可以获得图像灰度级的变化值。

图像可以看作一个二维离散函数，它对图像一阶微分的计算公式如下：

对于二阶微分，有：

对于图像边缘的灰度值，通常有两个突变：

两侧边缘图像的灰度差异较大，形成灰度台阶。在该步骤，第一微分和第二微分的值不为0。

两边的边缘图像不像台阶那样变化剧烈，会形成缓慢变化的灰度斜率。在斜率的起点和终点，一阶和二阶微分的值不为零，但是沿斜率的一阶微分的值不为零，而二阶微分的值为零。

对于图像的边缘，通常有一个斜率过渡。如果一阶微分在斜坡处的值不为0，那么其得到的边缘较粗；而二阶微分的值在斜坡处为0，但在斜坡两端不为0，值的符号也不同，这样二阶微分就得到一个相隔0和一个像素宽的双边缘。也就是说，二阶微分在增强图像细节方面要比一阶微分好得多，在计算上也比一阶微分更方便。

梯度图

图像处理中的一阶微分通常是利用梯度的幅值来实现的。对于图像f (x，y)，f，f在坐标(x，y)处的梯度是一个列向量。

向量表示点(x，y)处图像中像素的灰度值的最大变化率的方向。向量的幅度是图像f (x，y)的梯度图，表示为M(x，y)。

M (x，y)是an

根据梯度的定义

用这种方法得到的模板[11]和计算的图像的梯度只考虑了单个像素的差异，没有利用图像像素的邻域特性。

罗伯特交叉算子

在图像处理过程中，我们不只计算图像中的某个像素，通常考虑每个像素的某个邻域的灰度变化。因此，我们通常不简单的用梯度的定义来计算梯度，而是在像素的某个邻域内设置梯度算子。考虑33区域的像素由以下矩阵表示：

设中心点z5代表图像中的任意像素，那么根据梯度的定义，z5在X和Y方向的梯度分别为GX=z9 z5和gy=z8 z6，梯度图像M (x，Y)

根据上述公式，罗伯特于1965年提出了罗伯特交叉算子

索贝尔算子

罗伯特交叉算子是偶数，偶数大小的滤波器没有对称中心计算效率较低，所以滤波器的模板大小通常是奇数。仍以33为例，以z5为对称中心(代表图像中的任意像素)，有

利用上面的公式，可以得到下面两个卷积模板，分别计算图像在X和Y风向的梯度。

在第一个模板中，第三条线和第一条线的差近似为X方向的偏导数；在第二个模板中，第三列和第一列的差在Y方向上近似为偏微分，模板的所有系数只和为0，表示恒定灰度区的响应为0。

基于OpenCV的梯形算子的实现

索贝尔算子

Sobel算子封装在OpenCV中，函数是Sobel。使用Sobel可以轻松计算任意大小的x和y方向的偏微分，如下所示：

void sobel_grad(const Mat src，Mat dst) { Mat grad_x，grad _ y；索贝尔(src，grad_x，CV_32F，1，0)；索贝尔(src，grad_y，CV_32F，0，1)；//convertScaleAbs(grad_x，grad _ x)；//convertScaleAbs(grad_y，grad _ y)；//addWeighted(grad_x，0.5，grad_y，0.5，0，dst)；星等(grad_x，grad_y，dst)；convertScaleAbs(dst，dst)；}

在上面的代码中调用Sobel，分别得到图像在X和Y方向的偏微分gx和gy，然后将它们相加得到图像的梯度图。

其余函数显示convertScaleAbs将图像类型转换为cv _ 8uAddWeighted将两幅图像按照一定的权重相加；量级求两幅图像的振幅，其公式为

，具体参数描述请参考OpenCV官方文档。

基于定义和罗伯特交叉算子的计算

对于这两个操作符，OpenCV中没有提供具体的函数，但是可以通过使用filter2D函数来实现。Filter2D是OpenCV中图像卷积的一个非常重要的函数，可以使用任何线性卷积核进行卷积。

void robert_grad(const Mat src，Mat dst) { Mat grad_x，grad _ y；Mat kernel_x=(Mat_(2，2) -1，0，0，1)；Mat kernel_y=(Mat_(2，2) 0，-1，1，0)；filter2D(src，grad_x，CV_32F，kernel _ x)；filter2D(src，grad_y，CV_32F，kernel _ y)；//convertScaleAbs(grad_x，grad _ x)；//convertScaleAbs(grad_y，grad _ y)；//addWeighted(grad_x，1，grad_y，1，0，dst)；星等(grad_x，grad_y，dst)；}

构造Robert交叉算子，然后调用filter2D基于定义的计算方法在此类似，此处不再赘述。

结果三种方法计算的梯度图如下：

从以上结果可以看出，Robert交叉算子和基于定义的边图得到的边比较细，不是很连续；Sobel得到了更粗的边缘和连续的线条，效果明显优于另外两种算子。

二阶微分算子-拉普拉斯拉普拉斯算子

二阶微分算子的代表是拉普拉斯算子，其定义如下：

其中包括：

对于上面提到的33区域，有

生成的模板如下所示：

注意模板中央的符号，模板所有系数之和为0。

OpenCV里有一个拉普拉斯的包，它的函数是拉普拉斯，它使用的模板中心的系数是负的。参数详情见OpenCV文档。OpenCV得到的边图和一阶微分算子得到的边图的比较结果如下：

一阶微分算子Sobel得到的边缘比二阶微分算子Laplace得到的边缘粗，但边缘更细，边缘是双刃的。l宫算子对噪声敏感，得到的边缘图像中噪声明显。

由于拉普拉斯算子对噪声敏感，它可以得到两个面，并且可以无法检测边缘的方向。它通常不用于直接边缘检测，只起辅助作用。检测像素是边缘的亮侧还是暗侧，并使用零交叉以确定边缘的位置。