正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式总是正的；实对称矩阵A是正的当且仅当A与单位矩阵收缩；如果a是正定矩阵，那么a的逆矩阵也是正定矩阵等等。在线性代数中，正定矩阵有时简称为正定矩阵。线性代数中，正定矩阵的性质类似于复数中的正实数。
在线性代数中，正定矩阵有时被称为正定矩阵。线性代数中，正定矩阵的性质类似于复数中的正实数。正定矩阵对应的线性算子是对称正定双线性型(对应复数域上的Hermite正定双线性型)。
正定矩阵具有以下性质：
(1)正定矩阵的行列式总是正的；
(2)实对称矩阵A是正的当且仅当A与单位矩阵收缩；
(3)若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
(4)两个正定矩阵之和为正定矩阵；
(5)正实数与正定矩阵的乘积为正定矩阵。
判断方法：
根据正定矩阵的定义和性质，判断对称矩阵A正定有两种方法：
1、求A的所有特征值.如果a的特征值都是正数，那么a是正定的；如果a的特征值都是负的，那么a就是负的。
2、计算A的各阶主公式，若A的所有主成分都大于零，则A为正定；如果奇数主成分为负，偶数主成分为正，则a为负。
对于n阶实对称矩阵A，以下条件是等价的：
(1)A是正定矩阵；
(2)A的所有主子序列都是正的；
(3)A的所有主从式都是正的；
(4)A的特征值都是正的；
(5)存在实可逆矩阵c，使a=c’c；
(6)存在一个秩为n的mn实矩阵B，所以a=B’B；
(7)存在一个主对角元素都是正的实三角矩阵R，所以a=RR。
矩阵是数学中一个重要的基本概念，也是代数的主要研究对象。同时，矩阵理论是研究线性代数的有力工具。由于其独特的性质和广泛的应用领域，许多学者对正定矩阵做了大量的研究。本文主要通过特征值单位矩阵对其进行研究。
