绝对值是指数轴上对应点到数字原点的距离，用| | 。|b-a|或|a-b|表示数轴上代表A的点和代表B的点之间的距离。绝对值不等式的公式为：| | | a |-| b || a b || a b | | a | | | b |。
一、知识点
1.不等式性质的比较：(1)差比较法(2)商比较法。
不等式的基本性质
对称性：a \ u003e bb \ u003e a
及物性：a \u003e b，b \u003e ca \u003e c
相加性：a
可积性：a \u003e b，c \ u003e 0ac \ u003e bc；a \u003e b，c \ u003c 0ac \ u003c bc
加法法则：a \ u003e b，c \ u003e d a c \ u003e d。
乘法法则：A \ U003EB \ U003E0，C \ U003ED \ U0030AC \ U003BD
幂法则：a \u003e b \u003e 0，an \u003e bn (nN)
处方规则：a \u003e b \u003e 0，
2.算术平均和几何平均定理：
(1)若a，bR，则a2 b2 2ab(等号当且仅当a=b)
(2)如果A，B R+，那么(等号当且仅当a=b)
概括：如果是实数，重要的结论
(1)如果乘积xy是固定值p，那么当x=y，且x+y有最小值2；
(2)如果总和x+y是常数值S，那么当x=y时，总和xy具有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：
比较法：比较法是最基本也是最重要的方法。当不等式两边的差可以分解成因子或可以组合成平方和的形式时，选择差比较法；当不等式两边都是正数，且它们的商可以与1比较时，选择商比较法。遇到绝对值或根的时候，也可以考虑做平方差。
综合法：从已知或已证明的不等式出发，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。平均不等式常用于法定比例。解析：不等式两边的联系不够清晰。通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的求解
(1)不等式的相关概念同解不等式：两个不等式若其解集相同，则称为同解不等式。同构变形：当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同态不等式，那么这种变形称为同态变形。问题：请说说我们以前解不等式常用的表达方式，比如去掉分母，去掉括号，移动项，合并相似项。
(2)不等式ax \u003e b 当a\u003e0时，不等式的解集为{ X | X \ U003EB/A }；当a\u003c0时，不等式的解集为{ x | x \ u003c b/a }；当a=0，b\u003c0时，解集为R；B0，其解集为。
(3)一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系。
(4)绝对值不等式| x | & lta(a & gt；0)是{ x |-a & lt；x & lta}，几何表达式为：o o-a0a | x & gt；a(a & gt；0)是{ x | x & lt-a或x & gta}，几何表达式为：
解决问题通常有以下三种方式：
(1)定义法：利用绝对值的含义，通过分类讨论去掉绝对值符号；
(2)公式法：| f(x) | \u003e a f(x) \u003e a或f(x)\ u003c-a；| f(x)| \ u003c a-a \ u003c f(x)\ u003c a；
(3)平方法：| F(x)| \ u 003 ea(a \ u 003 e 0)F2(x)\ u 003 a2；| f(x)| 0)F2(x)\ u003c a2；
(4)几何意义。
(5)分式不等式的解(6)一元高阶不等式的解。利用数轴将不等式转化为f (x)>0(或& lt0)(第一个系数变为正)，然后分解因子，在数轴上按降序标出根，从右边画一条线，最后根据曲线写出不等式的解。
(7)带绝对值的不等式定理：| A |-| B || A B || A ||| B |？| a |-| b || a b |当b=0或|a|\u003e|b|且ab\u003c0等号成立时？| AB || A ||| B |当且仅当等号ab0成立。推论一：| A1 A2A3 || A1 || A2 | A3 |概括：| A1 A2.+An || A1 || A2 |.| An |推论2: | A |-| B
二、常见问题特别汇总：
题目1:利用不等式的性质判断其他不等式是否成立。
1、a，bR，则下列命题中的真命题是(C )A，若a\u003eb，则|a|\u003e|b| B，若a\u003eb，则1/ab，则a3\u003eb3 D
2、 a \ u003c0-1ab2b、ab2\u003eab\u003eaC、ab\u003ea\u003eab2 D、ab\u003eab2\u003ea已知
3、当公元前0年
4、若loga3\u003elogb3\u003e0，则A与B的关系为(B )A，0\u003ca1 C，0\u003cb\u003ca\u003c1 D，1\u003cb\u003ca。
5、若a\u003eb\u003e0，则下列不等式1/AB2；LG(a2 1)\ u 003 elg(B2 1)；在2a\u003e2b中成立的是(A )A， B， C，D， (2)大小的比较。
1、如果0 \ u003c \ u003c \ u003c/4，sin cos =a，sin cos =b，则(A )A，a & ltbb，a & gtb c，ab & lt1d，ab & gt2
2、a，b是不等正数，且nN，则(anbabn)-(an-1bn-1)的符号是(C )A，恒正b，恒负C，d与A和b的大小有关，与N是奇数还是偶数有关。
3、 Let 1 & lt；x & lt10，则lg2x、lgx2和LG (LGX)的大小关系为lgx2\u003elg2x\u003elg(lgx)
4、设a\u003e0，a1，比较logat/2和loga(t 1)/2的大小。分析：比较大小的公式有很多。为了避免盲目性，可以先取特殊值估算各种尺寸关系，然后用比较法(取差)。
(3)利用不等式的性质判断P是Q的充要条件
1、设x，yR确定下列问题中命题A与命题B的充要关系(1)命题A: x\u003e0与y\u003e0，命题B: x y\u003e0与x y\u003e0的充要条件(2)命题A: x\u003e2与y
2、已知有四个命题，其中A，bRa2\u003cb2的充要条件为| A | \ U003C | B |a2 \ u003c b 2的充要条件是| a | 2 \ u003c | b | 2a2\u003cb2充要条件是(a b)和(a-b)符号不同；a2\u003cb2充要条件是(|a| |b|)和(| a |-| b |)符号不同，其中真命题序号为
3、'A B \ U0032C 一个充分条件是(C )A，a\u003ec或b\u003ec或B& lt；C C C，a\u003ec和b\u003ecD
(4)范围。
1、 Let 60 & lt；A & lt84，-28 & lt；B& lt；33，并求出范围：A B，A-B，A/B。2、若二次函数y=f(x)的像过原点，1f(1)2，3f(1)3，求f(2)的值域。
(五)平均不等式的变形问题
1、当A，bR时，下列不等式不正确的是：(D )A，a2 b22|a|？|b| B 、( a/2 b/2)2abC 、( a/2 b/2)2a2/2 b2/2 D、log1/2(a2 b2)log1/2(2|a|？|b|)
2、x，y(0，)，则下列不等式中的等号为(A )C，(x y)(1/x 1/y)4 D，(lgx/2lgy/2) 2 lg2x/2lg2y/2: 011。那么(1/a21)(1/b21)的最小值就是(D) A，6 B，7 C，8 D，94、。已知a\u003e0，b\u003e0，c\u003e0，a b c=1。验证：1/U03E0，验证：(6)求函数的最大值1、。若x\u003e4，函数5、，-62、，设x，yR，x y=5，则3x 3y的最小值为()
3、下列公式中，最小值等于2的是()DA，x/y y/x B，c，tan cot D，2x2-x4、。已知实数A，B，C，D满足a b=7，c d=5，find(A C)2(B D)25、 x \ u003 e 0，y\u003e0，2x y=1已知。求1/x 1/y的最小值。
