基于边界元法的物理场建模界面声学模块COMSOL Multiphysics软件可以与基于有限元法(FEM)的接口无缝耦合，从而对声学-结构相互作用进行建模。本文介绍了边界元法的功能、案例及相关的后处理技巧。
基于边界元法声学建模优势
BEM函数由声学模块的压力声学的边界元素接口提供。该界面适用于解决2D和3D声学问题，每个领域的材料属性保持不变。通过使用复值材料属性，用户可以将损耗引入流体模型。另外，BEM接口还可以模拟散射场，也就是说可以处理散射问题(见下图)。在新边界元法的帮助下，用户可以解决以前不支持的问题类型，这将在下面详细描述。
球形散射体的经典边界元基准模型。图中比较了模型结果和解析解。上图显示了500 Hz频率下两个部分的声压级，而下图显示了1400 Hz频率下的散射场。来自球形散射体的图像：BEM基准教学模型。
基于边界元法和有限元法的界面耦合是软件的重要功能。例如，声学边界元界面和基于有限元的振动结构利用声学-结构边界多物理场耦合相互耦合；BEM和FEM声学域通过在BEM-FEM边界的多个物理场的耦合而结合。
的出色灵活性使用户能够将BEM和FEM应用到最合适的场景，并且像COMSOL Multiphysics的所有其他物理场耦合一样，所有操作都在一个用户界面中完成。例如，FEM可以添加更一般的材料属性，因此适用于模拟振动结构的内部域，如封闭空气域；外部域使用BEM是因为它更适合建模大域和无限域。下图中的扬声器模型采用了两种方法。
COMSOL Multiphysics扬声器多物理场模型用户界面，包括BEM和FEM声学、固体力学和壳体界面。物理场耦合成内置的多物理场耦合。来自振动声学扬声器模拟的图像：基于混合BEM-FEM方法的多物理场教学模型。
使用边界元方法，我们只需要对建模域附近的曲面进行网格划分。这意味着不需要对大体积进行网格划分(与有限元方法不同)，因此基于边界元的界面特别适用于涉及辐射和散射以及具有详细CAD几何形状的模型。界面还提供内置条件，供用户设置无限硬声场边界(墙)或无限软声场边界。这些边界条件对建模非常有利。例如，在水下声学问题中，可以用无限软声场边界来模拟海洋表面。
对于涉及大流体域的问题，基于边界元的界面通常更有优势。如果使用FEM，需要为大体积创建网格，大的三维网格会导致内存溢出。对于类似的情况，BEM甚至可以拓宽COMSOL Multiphysics可以处理的问题类型。这些问题的一些相关例子包括：
无限壁或无限软声场的边界远离辐射物体的模型(就波长而言)
散射物体和辐射物体相距甚远并相互作用的模型。
用有限元法处理复杂和非紧几何辐射问题时，很难应用合适的辐射条件或完全匹配层(PML)。
远离散射物体的传感器阵列的示例图。由于内存需求大，单纯用有限元法很难或不可能解决这个问题。边界元法适合求解这类模型(将球体移远不会增加计算量)。图片来自声纳系统中蘑菇状换能器阵列的教学模型。
对于相同数量的自由度(DOF)，边界元法比有限元法需要更高的计算能力，但另一方面，为了获得相同的精度，边界元法通常需要比有限元法少得多的自由度。边界元法可以生成完全填充的稠密系统矩阵，因此需要使用不同于有限元法的特殊数值方法。当求解中小型声学模型时，基于FEM的接口3354例如压力声学，频域接口3354通常比BEM更快。
根据声学模块压力声学和边界元界面的边界元方法是基于使用Costabel对称耦合的直接方法。为了求解得到的线性系统，我们使用了自适应交叉逼近(ACA)的快速求和算法。在该方法中，使用了部分集合矩阵，其中计算了矩阵与向量相乘的效果。默认的迭代求解器是GMRES。内置的多物理场耦合降低了无缝创建混合FEM和BEM物理场的难度。求解耦合模型时，边界元问题采用默认的ACA混合算法，有限元采用合适的预处理子(直接或多重网格)。
两全其美：混合有限元-边界元法
如上所述，压力声学和边界元界面可以与基于有限元的界面无缝耦合，例如压力声学、频域界面和固体力学界面。借助于耦合，很容易创建一个混合的FEM-BEM模型，该模型可以在最需要和合适的地方充分利用方程各自的优势。
边界元法不等于代替声场中的有限元，而应视为一种补充。根据经验，因为基于FEM的模型在求解时需要非常精细的网格，所以对于大的流体域应该选择BEM，或者基于BEM和FEM的物理场应该耦合在一起。以下是一些应用和示例：
模拟具有复杂几何形状的换能器和辐射问题
FEM用于模拟换能器(压电或电磁)，BEM用于模拟外部声场。
耦合内部和外部问题
FEM用于窄区域和谐振腔，BEM用于辐射区域。
请记住：声学BEM-FEM边界多物理场耦合可以帮助用户轻松耦合基于BEM和FEM的声学模型。
对于具有足够内存的较小模型，有限元方法通常更快。使用辐射条件或PML的传统方法适用于模拟开放辐射场。
压力声学、边界元界面可用于替代基于FEM的辐射条件/PML和远场计算特征。请参见下图中的模型示例。
在贝塞尔面板教学模型中，采用压力声学和边界元法模拟开放空间。边界元界面可以有效地代替原来需要的辐射条件(或PML)和远场计算特征。图为FEM域(多个点源所在位置)的表面声压级和特定范围内外部BEM域三个截面的声压级。
边界元模型的后处理
用BEM界面求解时，得到的解由边界上的因变量——等价于未知场变量3354组成，包括压力P及其法向导数；即正常流量变量pabe.pbam1.bemflux.域内求解基于计算积分核，这是边界元法的核心。
在边界上定义了一个特殊的边界变量。这个变量在外部和内部边界上有不同的定义；在外部边界上，它等于因变量。在内边界上，定义为向上和向下的压力相关变量(pabe.p_up和pabe.p_down)，因为这里的压力是不连续的；例如内部硬声场壁边界。此外，所有边界上都有预定义的后处理变量，必要时可以结合边界变量和基于核计算的变量的属性。
如下图所示，我们可以在图中的替代表达式列表中找到上述变量和所有其他后处理变量。
用户界面的屏幕截图显示了一些预定义后处理变量的列表。
在域内对边界元解进行后处理时，必须使用上述边界元积分核计算来重建压力场。为了使BEM解更容易可视化，我们可以在网格上自动进行核计算，从而生成特殊的数据集。以下段落讨论了dat
三维栅格和二维栅格数据集专用于求解没有格网的区域。这些数据集在要求解的区域中建立了规则的点网格。可以修改网格的大小和边界以及分辨率(网格间距)。在可视化波动问题时，足够的空间分辨率非常重要。但是分辨率不能太大，否则会增加渲染时间。
栅格数据集可用于其他目的，例如用作截面或表面视图的输入数据集。在求解BEM模型时，系统会自动生成栅格数据集和多截面图，并应用到缺省图中。栅格数据集也可用作截面、剖面或切割点的输入。
只要选择只计算全局定义的表达式，边界元法的解就可以通过参数曲线和曲面直接计算。
当使用边界元变量作为输入时，我们可以直接使用专门的声学绘图。相关示例包括远场图(不一定是远场，但实际上可以是任何距离)和用于绘制空间响应的方向图。例如，声压级变量pabe。Lp可以用作表达式。
用户界面的截屏显示了上面提到的一些不同的数据集。重要设置会突出显示。
上面的截图摘自《扬声器辐射：BEM声学教学模型》。该模型解决了辐射问题，并创建了最常见的绘图和可视化结果。
下图显示了使用扬声器表面的网格在三个截面上绘制的声压级。为了显示后处理和可视化工具的通用性，图片还沿着利用参数曲线3D数据集创建的参数螺旋曲线绘制了声压级结果。
扬声器辐射：BEM声学以多种方式显示声压级结果。
边界元法的两个特例
接下来，我们将讨论使用边界元法时需要特别考虑的两种情况。
第一种情况：半空间辐射。
许多声学应用涉及这样一种情况，即换能器位于无限远的隔板中，并向半空间辐射。在大多数情况下，BEM可以至少在包括无限挡板的情况下，不能用在这种装置中。通过使用诸如内部硬声场壁的边界条件，可以产生非无限的挡板。
我们通常习惯于使用无限硬声场的边界特征。这个边界条件可以不能应用于中间有孔的边界，如扬声器驱动器站立的挡板。因为边界元方程是建立在格林整个空间的s函数，无限对称平面或无限墙的条件是指平面或墙必须无限延伸，不能有开口。基本上，如果边界在物理场界面中有相应的选择，并且选择是活动的，那么这些边界必须在无限边界条件的同一侧或在无限边界条件上。否则会产生非物质的结果。
至于如何设置无限挡板，我的总体建议是将基于FEM的物理场界面与远场计算特性和PML或辐射条件结合起来。扬声器驱动器的集总模型就是一个例子。这种设置通常要快得多！
压力声学，边界元界面的用户界面。无限边界条件设置在物理场的顶部(突出显示)。选择任何条件后，生成的平面将显示在图形窗口中。
第二种情况：内边值问题。
边值问题3354，尤其是没有损失或损失很小的尖锐共振问题3354，很难用边界元法求解。问题不在于方法本身，而在于迭代求解器是用来高效求解底层矩阵系统的。当在基于FEM的模型中使用迭代求解器时，也会出现同样的问题。
在锐共振附近，任何轻微的变化都会导致压力变化，但我们很难捕捉到这种变化来保证收敛。如果可能的话，在遇到这些情况时，建议将FEM与直接求解器相结合，或者加入有损耗的真实边界条件，比如阻抗条件。
关于边界元法的结论
在COMSOL Multiphysics软件环境中，边界元法是有限元法的实用补充。很多从事声学建模的工程师都很期待加入这个功能。我们希望您会喜欢声学模块。
下一步操作
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动手操作：下载本文中的教学模型。访问案例下载页面，登录COMSOL Access账号后可以下载MPH文件。
球形散射体：边界元基准
声纳系统的蘑菇形换能器阵列
振动扬声器的模拟：基于混合边界元-有限元法的多物理场
贝塞尔面板
扬声器辐射：边界元声学课程
